Par une nuit agitée de nouvelle lune, le capitaine Mathock et son équipage se retrouvent perdus en mer, quelque part au large d’Aëlan et de Bloscoff. Après plusieurs heures d’errance avec les étoiles et une vieille boussole pour seuls guides, ils finissent par apercevoir sur l’horizon les phares des deux ports. Mathock remarque alors que le phare d’Aëlan se trouve direction plein sud, tandis que celui de Bloscoff se situe précisément à l’est de leur bateau.
Il décide dans un premier temps de faire route vers Aëlan et navigue en direction de son phare pendant treize kilomètres. Voyant des vents contraires se lever, il change d’avis, il décide de virer de bord pour prendre la direction de Bloscoff, vers lequel il navigue à nouveau pendant exactement 13 kilomètres.
Mathock se souvient alors que la côte dont il s’approche est pleine de dangereux récifs et décide à nouveau de dévier sa route pour ne prendre aucun risque. Il parcourt à nouveau 13 kilomètres en s’éloignant perpendiculairement à la côte qui, entre Aëlan et Bloscoff, suit une quasi-ligne droite.
Après ces trois manœuvres, le bateau du capitaine Mathock se retrouve exactement à son point de départ.
Sauriez-vous dire à quelle distance de la côte Mathock et son bateau se trouvent à cet instant ?
Alors qu’il s’apprête à changer une nouvelle fois de cap, le capitaine entend soudain le tintement lointain du clocher de Bloscoff qui sonne les douze coups de minuit. C’est alors que tout l’équipage fait irruption dans la cabine de pilotage et lui entonne à tue-tête un joyeux anniversaire. Au milieu des embrassades, son second lui fait remarquer qu’il a désormais autant d’années au compteur qu’il y a de kilomètres entre Aëlan et Bloscoff.
Quel est l’âge du capitaine Mathock ?
Indice
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Solution
Sur la figure ci-dessous, A et B désignent les ports d’Aëlan et Bloscoff, tandis que I, J et K désignent les sommets du triangle équilatéral décrit par Mathock. Les angles du triangle IJK valent donc 60°. Et, puisqu’en I les points A et B apparaissent à l’est et au sud, l’angle AIB est droit. De proche en proche, et sachant que la somme des angles d’un triangle vaut 180°, on en déduit les autres angles de la figure. Le triangle IKB est isocèle en K (puisque deux de ses angles sont identiques), et donc KB mesure 13 kilomètres comme IK.
La figure contient de nombreux triangles dont les angles mesurent 30°, 60° et 90°. Ces triangles sont des demi-triangles équilatéraux : leur grand côté vaut le double du plus petit, et le côté intermédiaire est égal (par le théorème de Pythagore) au grand côté multiplié par √3/2.
On en déduit que KH mesure KB/2 = 13/2 = 6,5 km. Au point I, le bateau est donc à 13 + 6,5 = 19,5 kilomètres de la côte. En regardant le triangle IHB, on trouve que IB = 19,5 × 2/√3 = 39/√3 ≈ 22,51 km. Puis que AB = IB × 2 = 78/√3 ≈ 45,03 km. Le capitaine a donc 45 ans.
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